微方探索筆記(一)

y’ + p(t )y = g(t)
t = y(t)


Y={1/u(t)}[∫u(t)g(t)dt + c]──（＊）
u(t)= e^∫p(t)dt

自從上次學到這個微分方程式之後
會是會用了 背也背的起來
但我就是想知道怎麼證明他的 整個莫名奇妙地百思不得其解

今天上課知道了證明
但還是很有疑問
究竟那位數學家試怎麼想到兩邊同乘u的解
為什麼不是兩邊同乘u’或者什麼uv之類的
他怎麼想到的阿
於是在課堂上忍不住問了老師
一問之下 老師只說什麼 這個解是人家想好幾年的結晶
做數學的很可憐的
哪想我們現在多幸運 直接瓢竊別人研究多年的成果
把它集中在一本書裡
學工程或者物理需要用的時候
直接把解被起來套就好了
(看來老師好像也不知道嘛)_

結論是我真的覺得那個想出來的人很聰明 超有創意的
不過對考試而言 背起來會用就好了

Step1 Multiply both sides of（＊）by u(t) ←這個就是神奇的地方
→uy’ + p(t)uy = uq…..(＊＊) 　where u(t) is required to satisfy uy’ + p(t)uy = (uy)’ = u’y + uy’
This is, u(t) satisfies u’ = up(t)
∫(1/u)(du/dt)dt=∫p(t)dt + c
∴|u|= e^c*e^∫p(t)dt
∴u= ±e^c*e^∫p(t)dt
Hence, It’s OK to just take u(t)= e^∫p(t)dt

Step2 Then (＊＊) becomes uq = (uy)’
∴∫d(uy) = ∫(uq)dt + c
∴ Y={1/u(t)}[∫u(t)g(t)dt + c]